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Theorem axgroth4

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007)

Ref Expression
Assertion axgroth4 
|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axgroth3 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )
2 elequ2 
 |-  ( w = v -> ( u e. w <-> u e. v ) )
3 2 imbi2d 
 |-  ( w = v -> ( ( u C_ z -> u e. w ) <-> ( u C_ z -> u e. v ) ) )
4 3 albidv 
 |-  ( w = v -> ( A. u ( u C_ z -> u e. w ) <-> A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) )
5 4 cbvrexvw 
 |-  ( E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) <-> E. v e. y A. u ( u C_ z -> u e. v ) )
6 5 anbi2i 
 |-  ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. v e. y A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) )
7 r19.42v 
 |-  ( E. v e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. v e. y A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) )
8 sseq1 
 |-  ( u = w -> ( u C_ z <-> w C_ z ) )
9 elequ1 
 |-  ( u = w -> ( u e. v <-> w e. v ) )
10 8 9 imbi12d 
 |-  ( u = w -> ( ( u C_ z -> u e. v ) <-> ( w C_ z -> w e. v ) ) )
11 10 cbvalvw 
 |-  ( A. u ( u C_ z -> u e. v ) <-> A. w ( w C_ z -> w e. v ) )
12 11 anbi2i 
 |-  ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. w ( w C_ z -> w e. v ) ) )
13 19.26 
 |-  ( A. w ( ( w C_ z -> w e. y ) /\ ( w C_ z -> w e. v ) ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. w ( w C_ z -> w e. v ) ) )
14 pm4.76 
 |-  ( ( ( w C_ z -> w e. y ) /\ ( w C_ z -> w e. v ) ) <-> ( w C_ z -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
15 elin 
 |-  ( w e. ( y i^i v ) <-> ( w e. y /\ w e. v ) )
16 15 imbi2i 
 |-  ( ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> ( w C_ z -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
17 14 16 bitr4i 
 |-  ( ( ( w C_ z -> w e. y ) /\ ( w C_ z -> w e. v ) ) <-> ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
18 17 albii 
 |-  ( A. w ( ( w C_ z -> w e. y ) /\ ( w C_ z -> w e. v ) ) <-> A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
19 12 13 18 3bitr2i 
 |-  ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) <-> A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
20 19 rexbii 
 |-  ( E. v e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ A. u ( u C_ z -> u e. v ) ) <-> E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
21 6 7 20 3bitr2i 
 |-  ( ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) <-> E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
22 21 ralbii 
 |-  ( A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) <-> A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) )
23 22 3anbi2i 
 |-  ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
24 23 exbii 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. u ( u C_ z -> u e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) )
25 1 24 mpbi 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )