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Theorem ablpncan3

Description: A cancellation law for Abelian groups. (Contributed by NM, 23-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses ablsubadd.b 
|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p 
|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m 
|- .- = ( -g ` G )
Assertion ablpncan3 
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- X ) ) = Y )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ablsubadd.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 ablsubadd.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 ablsubadd.m 
 |-  .- = ( -g ` G )
4 simpl 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> G e. Abel )
5 simprl 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
6 ablgrp 
 |-  ( G e. Abel -> G e. Grp )
7 6 adantr 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> G e. Grp )
8 simprr 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
9 1 3 grpsubcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .- X ) e. B )
10 7 8 5 9 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Y .- X ) e. B )
11 1 2 ablcom 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ ( Y .- X ) e. B ) -> ( X .+ ( Y .- X ) ) = ( ( Y .- X ) .+ X ) )
12 4 5 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- X ) ) = ( ( Y .- X ) .+ X ) )
13 1 2 3 grpnpcan 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( Y .- X ) .+ X ) = Y )
14 7 8 5 13 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Y .- X ) .+ X ) = Y )
15 12 14 eqtrd 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- X ) ) = Y )