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Theorem abladdsub

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 19-Apr-2014)

Ref Expression
Hypotheses ablsubadd.b 
|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p 
|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m 
|- .- = ( -g ` G )
Assertion abladdsub 
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ablsubadd.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 ablsubadd.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 ablsubadd.m 
 |-  .- = ( -g ` G )
4 1 2 ablcom 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5 4 3adant3r3 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
6 5 oveq1d 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( Y .+ X ) .- Z ) )
7 ablgrp 
 |-  ( G e. Abel -> G e. Grp )
8 7 adantr 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
9 simpr2 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
10 simpr1 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
11 simpr3 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
12 1 2 3 grpaddsubass 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .- Z ) = ( Y .+ ( X .- Z ) ) )
13 8 9 10 11 12 syl13anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .- Z ) = ( Y .+ ( X .- Z ) ) )
14 simpl 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Abel )
15 1 3 grpsubcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
16 8 10 11 15 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Z ) e. B )
17 1 2 ablcom 
 |-  ( ( G e. Abel /\ Y e. B /\ ( X .- Z ) e. B ) -> ( Y .+ ( X .- Z ) ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )
18 14 9 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .+ ( X .- Z ) ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )
19 6 13 18 3eqtrd 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Z ) .+ Y ) )