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Theorem 2llnmeqat

Description: An atom equals the intersection of two majorizing lines. (Contributed by NM, 3-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses 2llnmeqat.l 
|- .<_ = ( le ` K )
2llnmeqat.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
2llnmeqat.a 
|- A = ( Atoms ` K )
2llnmeqat.n 
|- N = ( LLines ` K )
Assertion 2llnmeqat 
|- ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> P = ( X ./\ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2llnmeqat.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 2llnmeqat.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
3 2llnmeqat.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 2llnmeqat.n 
 |-  N = ( LLines ` K )
5 simp3r 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> P .<_ ( X ./\ Y ) )
6 hlatl 
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
7 6 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> K e. AtLat )
8 simp23 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> P e. A )
9 simp1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> K e. HL )
10 simp21 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> X e. N )
11 simp22 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> Y e. N )
12 simp3l 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> X =/= Y )
13 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
14 13 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> K e. Lat )
15 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
16 15 3 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
17 8 16 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
18 15 4 llnbase 
 |-  ( X e. N -> X e. ( Base ` K ) )
19 10 18 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
20 15 4 llnbase 
 |-  ( Y e. N -> Y e. ( Base ` K ) )
21 11 20 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
22 15 1 2 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .<_ X /\ P .<_ Y ) <-> P .<_ ( X ./\ Y ) ) )
23 14 17 19 21 22 syl13anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> ( ( P .<_ X /\ P .<_ Y ) <-> P .<_ ( X ./\ Y ) ) )
24 5 23 mpbird 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> ( P .<_ X /\ P .<_ Y ) )
25 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
26 1 2 25 3 4 2llnm4 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( P .<_ X /\ P .<_ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) )
27 9 8 10 11 24 26 syl131anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) )
28 2 25 3 4 2llnmat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )
29 9 10 11 12 27 28 syl32anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )
30 1 3 atcmp 
 |-  ( ( K e. AtLat /\ P e. A /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( P .<_ ( X ./\ Y ) <-> P = ( X ./\ Y ) ) )
31 7 8 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> ( P .<_ ( X ./\ Y ) <-> P = ( X ./\ Y ) ) )
32 5 31 mpbid 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ P e. A ) /\ ( X =/= Y /\ P .<_ ( X ./\ Y ) ) ) -> P = ( X ./\ Y ) )