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Theorem xltadd2

Description: Extended real version of ltadd2 . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion xltadd2 ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) < ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 xltadd1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) < ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) )
2 rexr ⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ* )
3 xaddcom ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
4 3 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
5 xaddcom ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
6 5 3adant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
7 4 6 breq12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) < ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ↔ ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) < ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) ) )
8 2 7 syl3an3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) < ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ↔ ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) < ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) ) )
9 1 8 bitrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) < ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) ) )