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Theorem submuladdd

Description: The product of a difference and a sum. Cf. addmulsub . (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025)

Ref Expression
Hypotheses submuladdd.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
submuladdd.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
submuladdd.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
submuladdd.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
Assertion submuladdd ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 + 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · 𝐷 ) ) − ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 submuladdd.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
2 submuladdd.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
3 submuladdd.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
4 submuladdd.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
5 1 2 subcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
6 3 4 addcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 + 𝐷 ) ∈ ℂ )
7 5 6 mulcomd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 + 𝐷 ) ) = ( ( 𝐶 + 𝐷 ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) )
8 addmulsub ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐶 + 𝐷 ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + ( 𝐷 · 𝐴 ) ) − ( ( 𝐶 · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐵 ) ) ) )
9 3 4 1 2 8 syl22anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 + 𝐷 ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + ( 𝐷 · 𝐴 ) ) − ( ( 𝐶 · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐵 ) ) ) )
10 3 1 mulcomd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · 𝐴 ) = ( 𝐴 · 𝐶 ) )
11 4 1 mulcomd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · 𝐴 ) = ( 𝐴 · 𝐷 ) )
12 10 11 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + ( 𝐷 · 𝐴 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · 𝐷 ) ) )
13 3 2 mulcomd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) )
14 4 2 mulcomd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐷 ) )
15 13 14 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
16 12 15 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + ( 𝐷 · 𝐴 ) ) − ( ( 𝐶 · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · 𝐷 ) ) − ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
17 7 9 16 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 + 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · 𝐷 ) ) − ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )