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Theorem sn-00idlem2

Description: Lemma for sn-00id . (Contributed by SN, 25-Dec-2023)

Ref Expression
Assertion sn-00idlem2 ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( 0 −ℝ 0 ) = 1 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
2 rennncan2 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 0 −ℝ 0 ) )
3 1 1 1 2 mp3an ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 0 −ℝ 0 )
4 re1m1e0m0 ⊢ ( 1 −ℝ 1 ) = ( 0 −ℝ 0 )
5 3 4 eqtr4i ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 −ℝ 1 )
6 rernegcl ⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 0 ) ∈ ℝ )
7 1 6 ax-mp ⊢ ( 0 −ℝ 0 ) ∈ ℝ
8 sn-00idlem1 ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ∈ ℝ → ( ( 0 −ℝ 0 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) ) )
9 7 8 ax-mp ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) )
10 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
11 sn-00idlem1 ⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( 1 · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 −ℝ 1 ) )
12 10 11 ax-mp ⊢ ( 1 · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 −ℝ 1 )
13 5 9 12 3eqtr4i ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 · ( 0 −ℝ 0 ) )
14 7 a1i ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( 0 −ℝ 0 ) ∈ ℝ )
15 1red ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → 1 ∈ ℝ )
16 id ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 )
17 14 15 14 16 remulcan2d ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( ( ( 0 −ℝ 0 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 · ( 0 −ℝ 0 ) ) ↔ ( 0 −ℝ 0 ) = 1 ) )
18 13 17 mpbii ⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( 0 −ℝ 0 ) = 1 )