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Theorem reupick

Description: Restricted uniqueness "picks" a member of a subclass. (Contributed by NM, 21-Aug-1999)

Ref Expression
Assertion reupick ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ssel ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
2 1 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
3 df-rex ⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) )
4 df-reu ⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) )
5 3 4 anbi12i ⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) )
6 1 ancrd ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
7 6 anim1d ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ) )
8 an32 ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
9 7 8 imbitrdi ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
10 9 eximdv ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
11 eupick ⊢ ( ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
12 11 ex ⊢ ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
13 10 12 syl9 ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ) )
14 13 com23 ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ) )
15 14 imp32 ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
16 5 15 sylan2b ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
17 16 expcomd ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) → ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
18 17 imp ⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
19 2 18 impbid ⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )