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Theorem pexmidlem3N

Description: Lemma for pexmidN . Use atom exchange hlatexch1 to swap p and q . (Contributed by NM, 2-Feb-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses pexmidlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
pexmidlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
pexmidlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
pexmidlem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
pexmidlem.o ⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
pexmidlem.m ⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
Assertion pexmidlem3N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pexmidlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 pexmidlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 pexmidlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 pexmidlem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
5 pexmidlem.o ⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
6 pexmidlem.m ⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
7 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) )
8 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑟 ∈ 𝑋 )
9 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) )
10 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
11 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ⊆ 𝐴 )
12 3 5 polssatN ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝐴 )
13 10 11 12 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝐴 )
14 simprr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) )
15 13 14 sseldd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
16 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
17 simprl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑟 ∈ 𝑋 )
18 11 17 sseldd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑟 ∈ 𝐴 )
19 1 2 3 4 5 6 pexmidlem1N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑞 ≠ 𝑟 )
20 19 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑞 ≠ 𝑟 )
21 1 2 3 hlatexch1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → ( 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) → 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) )
22 10 15 16 18 20 21 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) → 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) )
23 22 3impia ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) )
24 1 2 3 4 5 6 pexmidlem2N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )
25 7 8 9 23 24 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )