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Theorem paddasslem9

Description: Lemma for paddass . Combine paddasslem7 and paddasslem8 . (Contributed by NM, 9-Jan-2012)

Ref Expression
Hypotheses paddasslem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
paddasslem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
paddasslem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
paddasslem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
Assertion paddasslem9 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 paddasslem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 paddasslem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 paddasslem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 paddasslem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
5 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) )
7 simpl3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
8 simpr31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ 𝐴 )
9 7 8 jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) )
10 simpr1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) )
11 simpr32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) )
12 simpl3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ 𝐴 )
13 7 12 8 3jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) )
14 an6 ⊢ ( ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) )
15 ssel2 ⊢ ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 )
16 ssel2 ⊢ ( ( 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
17 ssel2 ⊢ ( ( 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
18 15 16 17 3anim123i ⊢ ( ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
19 14 18 sylbi ⊢ ( ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
20 19 3ad2antl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
21 20 3ad2antr1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
22 simpr2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) )
23 simpr2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) )
24 22 23 11 3jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ) )
25 simpr33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) )
26 1 2 3 paddasslem7 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ≤ ( 𝑠 ∨ 𝑧 ) )
27 5 13 21 24 25 26 syl32anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ≤ ( 𝑠 ∨ 𝑧 ) )
28 1 2 3 4 paddasslem8 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑠 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) )
29 5 6 9 10 11 27 28 syl33anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) )