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Theorem moantr

Description: Sufficient condition for transitivity of conjunctions inside existential quantifiers. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Oct-2018)

Ref Expression
Assertion moantr ( ∃* 𝑥 𝜓 → ( ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 exancom ⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) )
2 1 anbi1i ⊢ ( ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )
3 2 anbi2i ⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) ↔ ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) )
4 3anass ⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) )
5 3 4 bitr4i ⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) ↔ ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )
6 mopick2 ⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
7 5 6 sylbi ⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
8 3anass ⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) ↔ ( 𝜓 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) )
9 8 exbii ⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) )
10 exsimpr ⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
11 9 10 sylbi ⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
12 7 11 syl ⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
13 impexp ⊢ ( ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ∃* 𝑥 𝜓 → ( ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) ) )
14 12 13 mpbi ⊢ ( ∃* 𝑥 𝜓 → ( ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) )