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Theorem ledi

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (Contributed by NM, 14-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ledi 
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH ) -> ( ( A i^i B ) vH ( A i^i C ) ) C_ ( A i^i ( B vH C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ineq1 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( A i^i B ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) )
2 ineq1 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( A i^i C ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) )
3 1 2 oveq12d 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( ( A i^i B ) vH ( A i^i C ) ) = ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) ) )
4 ineq1 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( A i^i ( B vH C ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( B vH C ) ) )
5 3 4 sseq12d 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( ( ( A i^i B ) vH ( A i^i C ) ) C_ ( A i^i ( B vH C ) ) <-> ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) ) C_ ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( B vH C ) ) ) )
6 ineq2 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) )
7 6 oveq1d 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) ) = ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) ) )
8 oveq1 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( B vH C ) = ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH C ) )
9 8 ineq2d 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( B vH C ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH C ) ) )
10 7 9 sseq12d 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) ) C_ ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( B vH C ) ) <-> ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) ) C_ ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH C ) ) ) )
11 ineq2 
 |-  ( C = if ( C e. CH , C , 0H ) -> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( C e. CH , C , 0H ) ) )
12 11 oveq2d 
 |-  ( C = if ( C e. CH , C , 0H ) -> ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) ) = ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( C e. CH , C , 0H ) ) ) )
13 oveq2 
 |-  ( C = if ( C e. CH , C , 0H ) -> ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH C ) = ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH if ( C e. CH , C , 0H ) ) )
14 13 ineq2d 
 |-  ( C = if ( C e. CH , C , 0H ) -> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH C ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH if ( C e. CH , C , 0H ) ) ) )
15 12 14 sseq12d 
 |-  ( C = if ( C e. CH , C , 0H ) -> ( ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i C ) ) C_ ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH C ) ) <-> ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( C e. CH , C , 0H ) ) ) C_ ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH if ( C e. CH , C , 0H ) ) ) ) )
16 h0elch 
 |-  0H e. CH
17 16 elimel 
 |-  if ( A e. CH , A , 0H ) e. CH
18 16 elimel 
 |-  if ( B e. CH , B , 0H ) e. CH
19 16 elimel 
 |-  if ( C e. CH , C , 0H ) e. CH
20 17 18 19 ledii 
 |-  ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) vH ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( C e. CH , C , 0H ) ) ) C_ ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( if ( B e. CH , B , 0H ) vH if ( C e. CH , C , 0H ) ) )
21 5 10 15 20 dedth3h 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH ) -> ( ( A i^i B ) vH ( A i^i C ) ) C_ ( A i^i ( B vH C ) ) )