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Theorem itgresr

Description: The domain of an integral only matters in its intersection with RR . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014)

Ref Expression
Assertion itgresr ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 ∩ ℝ ) 𝐵 d 𝑥

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpr ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
2 1 biantrud ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ) )
3 elin ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) )
4 2 3 bitr4di ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ) )
5 4 anbi1d ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) )
6 5 ifbid ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) = if ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) )
7 6 mpteq2dva ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) )
8 7 fveq2d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) ) )
9 8 oveq2d ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) → ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
10 9 sumeq2i ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) ) )
11 eqid ⊢ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) )
12 11 dfitg ⊢ ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) ) )
13 11 dfitg ⊢ ∫ ( 𝐴 ∩ ℝ ) 𝐵 d 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) ) , ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) , 0 ) ) ) )
14 10 12 13 3eqtr4i ⊢ ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 ∩ ℝ ) 𝐵 d 𝑥