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Theorem icccntr

Description: Membership in a contracted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Hypotheses icccntr.1 ⊢ ( 𝐴 / 𝑅 ) = 𝐶
icccntr.2 ⊢ ( 𝐵 / 𝑅 ) = 𝐷
Assertion icccntr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 icccntr.1 ⊢ ( 𝐴 / 𝑅 ) = 𝐶
2 icccntr.2 ⊢ ( 𝐵 / 𝑅 ) = 𝐷
3 simpl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
4 rerpdivcl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ℝ )
5 3 4 2thd ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
6 5 adantl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
7 elrp ⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ↔ ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ) )
8 lediv1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 / 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ) )
9 7 8 syl3an3b ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 / 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ) )
10 9 3expb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 / 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ) )
11 10 adantlr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 / 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ) )
12 1 breq1i ⊢ ( ( 𝐴 / 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ↔ 𝐶 ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) )
13 11 12 bitrdi ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ) )
14 lediv1 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 / 𝑅 ) ) )
15 7 14 syl3an3b ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 / 𝑅 ) ) )
16 15 3expb ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 / 𝑅 ) ) )
17 16 an12s ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 / 𝑅 ) ) )
18 17 adantll ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 / 𝑅 ) ) )
19 2 breq2i ⊢ ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 / 𝑅 ) ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ 𝐷 )
20 18 19 bitrdi ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) )
21 6 13 20 3anbi123d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
22 elicc2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ) )
23 22 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ) )
24 rerpdivcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 / 𝑅 ) ∈ ℝ )
25 1 24 eqeltrrid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
26 rerpdivcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 / 𝑅 ) ∈ ℝ )
27 2 26 eqeltrrid ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → 𝐷 ∈ ℝ )
28 elicc2 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
29 25 27 28 syl2an ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
30 29 anandirs ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
31 30 adantrl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 / 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
32 21 23 31 3bitr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 / 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ) )