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Theorem hlatexch4

Description: Exchange 2 atoms. (Contributed by NM, 13-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses hlatexch4.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
hlatexch4.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion hlatexch4 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hlatexch4.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
2 hlatexch4.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
3 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
4 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
5 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
6 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
7 6 1 2 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑆 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
8 3 4 5 7 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
9 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
10 8 9 breqtrrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
11 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
12 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
13 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ≠ 𝑆 )
14 13 necomd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑄 )
15 6 1 2 hlatexch2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑆 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑆 ∨ 𝑄 ) ) )
16 3 5 11 12 14 15 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑆 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑆 ∨ 𝑄 ) ) )
17 10 16 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑆 ∨ 𝑄 ) )
18 1 2 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )
19 3 5 12 18 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )
20 17 19 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )
21 6 1 2 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
22 3 11 12 21 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
23 22 9 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
24 6 1 2 hlatexch2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ) → ( 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) → 𝑅 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) )
25 3 12 4 5 13 24 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) → 𝑅 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) )
26 23 25 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )
27 3 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
28 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
29 28 2 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 11 29 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 28 2 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 4 31 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 28 1 2 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 3 12 5 33 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 28 6 1 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑅 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) )
36 27 30 32 34 35 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑅 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) )
37 20 26 36 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )
38 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑅 )
39 6 1 2 ps-1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) )
40 3 11 4 38 12 5 39 syl132anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) )
41 37 40 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )