This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem efger

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016)

Ref Expression
Hypotheses efgval.w ⊢ 𝑊 = ( I ‘ Word ( 𝐼 × 2o ) )
efgval.r ⊢ ∼ = ( ~FG ‘ 𝐼 )
Assertion efger ∼ Er 𝑊

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 efgval.w ⊢ 𝑊 = ( I ‘ Word ( 𝐼 × 2o ) )
2 efgval.r ⊢ ∼ = ( ~FG ‘ 𝐼 )
3 1 efglem ⊢ ∃ 𝑟 ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) )
4 abn0 ⊢ ( { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑟 ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) )
5 3 4 mpbir ⊢ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } ≠ ∅
6 ereq1 ⊢ ( 𝑤 = 𝑟 → ( 𝑤 Er 𝑊 ↔ 𝑟 Er 𝑊 ) )
7 6 ralab2 ⊢ ( ∀ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤 Er 𝑊 ↔ ∀ 𝑟 ( ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) → 𝑟 Er 𝑊 ) )
8 simpl ⊢ ( ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) → 𝑟 Er 𝑊 )
9 7 8 mpgbir ⊢ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤 Er 𝑊
10 iiner ⊢ ( ( { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤 Er 𝑊 ) → ∩ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤 Er 𝑊 )
11 5 9 10 mp2an ⊢ ∩ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤 Er 𝑊
12 1 2 efgval ⊢ ∼ = ∩ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) }
13 intiin ⊢ ∩ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } = ∩ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤
14 12 13 eqtri ⊢ ∼ = ∩ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤
15 ereq1 ⊢ ( ∼ = ∩ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤 → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∩ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤 Er 𝑊 ) )
16 14 15 ax-mp ⊢ ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∩ 𝑤 ∈ { 𝑟 ∣ ( 𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑊 ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑥 ) ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐼 ∀ 𝑧 ∈ 2o 𝑥 𝑟 ( 𝑥 splice ⟨ 𝑛 , 𝑛 , ⟨“ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ⟨ 𝑦 , ( 1o ∖ 𝑧 ) ⟩ ”⟩ ⟩ ) ) } 𝑤 Er 𝑊 )
17 11 16 mpbir ⊢ ∼ Er 𝑊