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Theorem cnmpt12

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015)

Ref Expression
Hypotheses cnmptid.j ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
cnmpt11.a ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) )
cnmpt1t.b ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐿 ) )
cnmpt12.k ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) )
cnmpt12.l ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) )
cnmpt12.c ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝑀 ) )
cnmpt12.d ⊢ ( ( 𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵 ) → 𝐶 = 𝐷 )
Assertion cnmpt12 ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝑀 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cnmptid.j ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
2 cnmpt11.a ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) )
3 cnmpt1t.b ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐿 ) )
4 cnmpt12.k ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) )
5 cnmpt12.l ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) )
6 cnmpt12.c ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝑀 ) )
7 cnmpt12.d ⊢ ( ( 𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵 ) → 𝐶 = 𝐷 )
8 cnf2 ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) : 𝑋 ⟶ 𝑌 )
9 1 4 2 8 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) : 𝑋 ⟶ 𝑌 )
10 9 fvmptelcdm ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ 𝑌 )
11 cnf2 ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐿 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) : 𝑋 ⟶ 𝑍 )
12 1 5 3 11 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) : 𝑋 ⟶ 𝑍 )
13 12 fvmptelcdm ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ 𝑍 )
14 10 13 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍 ) )
15 txtopon ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) → ( 𝐾 ×t 𝐿 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑌 × 𝑍 ) ) )
16 4 5 15 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ×t 𝐿 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑌 × 𝑍 ) ) )
17 cntop2 ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝑀 ) → 𝑀 ∈ Top )
18 6 17 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ Top )
19 toptopon2 ⊢ ( 𝑀 ∈ Top ↔ 𝑀 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝑀 ) )
20 18 19 sylib ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝑀 ) )
21 cnf2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑌 × 𝑍 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝑀 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) : ( 𝑌 × 𝑍 ) ⟶ ∪ 𝑀 )
22 16 20 6 21 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) : ( 𝑌 × 𝑍 ) ⟶ ∪ 𝑀 )
23 eqid ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) = ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 )
24 23 fmpo ⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 ∀ 𝑧 ∈ 𝑍 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) : ( 𝑌 × 𝑍 ) ⟶ ∪ 𝑀 )
25 22 24 sylibr ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 ∀ 𝑧 ∈ 𝑍 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 )
26 r2al ⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 ∀ 𝑧 ∈ 𝑍 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 ↔ ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 ) )
27 25 26 sylib ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 ) )
28 27 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 ) )
29 eleq1 ⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( 𝑦 ∈ 𝑌 ↔ 𝐴 ∈ 𝑌 ) )
30 eleq1 ⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( 𝑧 ∈ 𝑍 ↔ 𝐵 ∈ 𝑍 ) )
31 29 30 bi2anan9 ⊢ ( ( 𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ↔ ( 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍 ) ) )
32 7 eleq1d ⊢ ( ( 𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵 ) → ( 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 ↔ 𝐷 ∈ ∪ 𝑀 ) )
33 31 32 imbi12d ⊢ ( ( 𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵 ) → ( ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍 ) → 𝐷 ∈ ∪ 𝑀 ) ) )
34 33 spc2gv ⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍 ) → ( ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝐶 ∈ ∪ 𝑀 ) → ( ( 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍 ) → 𝐷 ∈ ∪ 𝑀 ) ) )
35 14 28 14 34 syl3c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ∪ 𝑀 )
36 7 23 ovmpoga ⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ ∪ 𝑀 ) → ( 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) 𝐵 ) = 𝐷 )
37 10 13 35 36 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) 𝐵 ) = 𝐷 )
38 37 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) 𝐵 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷 ) )
39 1 2 3 6 cnmpt12f ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐶 ) 𝐵 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝑀 ) )
40 38 39 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝑀 ) )