cdlemk11t

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Eq. 5, line 36, p. 119. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 21-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) )
	cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ^◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion	cdlemk11t	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) )
10		cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ^◡ 𝑏 ) ) ) )
11		cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13		simp11r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
14	1 6 7 8	cdlemftr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝑇 ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) )
15	12 13 14	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝑇 ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) )
16		nfv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
17		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝐺
18		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑏 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 )
19		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑇
20	18 19	nfriota	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
21	11 20	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑋
22	17 21	nfcsbw	⊢ Ⅎ 𝑏 ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋
23		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑃
24	22 23	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 )
25		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ≤
26		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝐼
27	26 21	nfcsbw	⊢ Ⅎ 𝑏 ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋
28	27 23	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 )
29		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ∨
30		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) )
31	28 29 30	nfov	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) )
32	24 25 31	nfbr	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) )
33		simp11	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) )
34		simp12	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
35		simp2	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ 𝑇 )
36		simp3l	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
37		simp3r1	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
38		simp3r2	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
39	36 37 38	3jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
40		simp13l	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
41		simp13r	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
42		simp3r3	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) )
43	40 41 42	3jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )
44	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk11tc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) )
45	33 34 35 39 43 44	syl113anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) )
46	45	3exp	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑇 → ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) ) ) )
47	16 32 46	rexlimd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑇 ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) ) )
48	15 47	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) )

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Theorem cdlemk11t

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