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Theorem cdlemg35

Description: TODO: Fix comment. TODO: should we have a more general version of hlsupr to avoid the =/= conditions? (Contributed by NM, 31-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg35.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg35.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg35.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg35.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg35.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg35.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg35.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemg35 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ( 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg35.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg35.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg35.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg35.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg35.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg35.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg35.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
9 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
10 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
11 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
12 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 )
13 1 4 5 6 7 trlat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 )
14 9 10 11 12 13 syl112anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 )
15 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
16 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 )
17 1 4 5 6 7 trlat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
18 9 10 15 16 17 syl112anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
19 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
20 1 2 4 hlsupr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
21 8 14 18 19 20 syl31anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
22 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
23 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
24 23 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
25 22 4 atbase ⊢ ( 𝑣 ∈ 𝐴 → 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 25 3ad2ant2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
28 simp122 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
29 22 5 6 7 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 27 28 29 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 simp123 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
32 22 5 6 7 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 27 31 32 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 22 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 24 30 33 34 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 simp11r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
37 22 5 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 36 37 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
39 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
40 1 5 6 7 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 )
41 27 28 40 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 )
42 1 5 6 7 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 )
43 27 31 42 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 )
44 22 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) )
45 24 30 33 38 44 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) )
46 41 43 45 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 )
47 22 1 24 26 35 38 39 46 lattrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑣 ≤ 𝑊 )
48 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
49 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
50 47 48 49 jca32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
51 50 3expia ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) )
52 51 reximdva ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑣 ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ( 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) )
53 21 52 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ( 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )