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Theorem cdleme42c

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Match -. x .<_ W . (Contributed by NM, 6-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme42.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleme42.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme42.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme42.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme42.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme42.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme42.v ⊢ 𝑉 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
Assertion cdleme42c ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ¬ ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ≤ 𝑊 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme42.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleme42.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdleme42.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdleme42.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdleme42.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdleme42.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdleme42.v ⊢ 𝑉 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
8 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 )
9 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
10 9 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
11 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
12 1 5 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵 )
13 11 12 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 )
14 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
15 1 3 5 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐵 )
16 9 11 14 15 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐵 )
17 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
18 1 6 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
19 17 18 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
20 1 4 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
21 10 16 19 20 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
22 7 21 eqeltrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐵 )
23 1 2 3 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑅 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ≤ 𝑊 ) )
24 10 13 22 19 23 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑅 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ≤ 𝑊 ) )
25 simpl ⊢ ( ( 𝑅 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) → 𝑅 ≤ 𝑊 )
26 24 25 biimtrrdi ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ≤ 𝑊 → 𝑅 ≤ 𝑊 ) )
27 8 26 mtod ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ¬ ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ≤ 𝑊 )