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Theorem cdleme22f

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115. F , N represent f(t), f_t(s) respectively. If s <_ t \/ v, then f_t(s) <_ f(t) \/ v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme22.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme22.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme22.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme22.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme22.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme22f.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
cdleme22f.f ⊢ 𝐹 = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme22f.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
Assertion cdleme22f ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝐹 ∨ 𝑉 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme22.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme22.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme22.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme22.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme22.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme22f.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7 cdleme22f.f ⊢ 𝐹 = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
8 cdleme22f.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
10 9 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
11 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
12 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
13 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
14 13 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 9 11 12 14 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 simp11r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
17 simp22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
18 1 2 3 4 5 6 7 13 cdleme1b ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 9 16 11 12 17 18 syl23anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 simp21l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
21 13 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 9 20 17 21 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 13 5 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 16 23 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 13 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 10 22 24 25 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 13 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 10 19 26 27 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 13 1 3 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
30 10 15 28 29 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
31 simp21 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) )
32 simp3l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑇 )
33 simp23l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 )
34 simp23r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 ≤ 𝑊 )
35 simp3r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) )
36 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) = ( 𝑉 ∨ 𝑇 ) )
37 9 17 33 36 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) = ( 𝑉 ∨ 𝑇 ) )
38 35 37 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑉 ∨ 𝑇 ) )
39 hlcvl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat )
40 9 39 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
41 1 2 4 cvlatexch2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑉 ∨ 𝑇 ) → 𝑉 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
42 40 20 33 17 32 41 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑉 ∨ 𝑇 ) → 𝑉 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
43 38 42 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
44 eqid ⊢ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 )
45 1 2 3 4 5 44 cdleme22aa ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑉 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) )
46 9 16 31 17 32 33 34 43 45 syl233anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) )
47 46 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝐹 ∨ 𝑉 ) = ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
48 30 47 breqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ∨ 𝑉 ) )
49 8 48 eqbrtrid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝐹 ∨ 𝑉 ) )