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Theorem ablsubaddsub

Description: Double subtraction and addition in abelian groups. ( cnambpcma analog.) (Contributed by AV, 3-Mar-2025)

Ref Expression
Hypotheses ablsubadd.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
ablsubadd.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
ablsubadd.m ⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
Assertion ablsubaddsub ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) + 𝑍 ) − 𝑋 ) = ( 𝑍 − 𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ablsubadd.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 ablsubadd.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
3 ablsubadd.m ⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
4 1 2 3 ablsubadd23 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑌 ) + 𝑍 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) )
5 4 oveq1d ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) + 𝑍 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) − 𝑋 ) )
6 simpl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Abel )
7 simpr1 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
8 ablgrp ⊢ ( 𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp )
9 8 adantr ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Grp )
10 simpr3 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
11 simpr2 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
12 1 3 grpsubcl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
13 9 10 11 12 syl3anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
14 1 2 ablcom ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑍 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + 𝑋 ) )
15 6 7 13 14 syl3anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + 𝑋 ) )
16 15 oveq1d ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) − 𝑋 ) = ( ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + 𝑋 ) − 𝑋 ) )
17 1 2 3 grpaddsubass ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + 𝑋 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) )
18 9 13 7 7 17 syl13anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + 𝑋 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) )
19 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 )
20 1 19 3 grpsubid ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) )
21 9 7 20 syl2anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) )
22 21 oveq2d ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + ( 𝑋 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) )
23 1 2 19 9 13 grpridd ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑍 − 𝑌 ) )
24 18 22 23 3eqtrd ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑍 − 𝑌 ) + 𝑋 ) − 𝑋 ) = ( 𝑍 − 𝑌 ) )
25 5 16 24 3eqtrd ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) + 𝑍 ) − 𝑋 ) = ( 𝑍 − 𝑌 ) )