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Theorem 4atlem11b

Description: Lemma for 4at . Substitute U for Q (cont.). (Contributed by NM, 10-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 4at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
4at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 4atlem11b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 4at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 4at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 4at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) )
5 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) )
6 simp132 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 )
7 simp133 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐴 )
8 5 6 7 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) )
9 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) )
10 4 8 9 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) )
11 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
12 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
13 simp111 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
14 13 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
15 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
16 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17 16 3 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 15 17 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 simp12r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
20 16 3 atbase ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 19 20 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 simp112 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
23 simp131 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
24 16 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 13 22 23 24 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 16 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 13 6 7 26 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 16 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 14 25 27 28 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 16 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
31 14 18 21 29 30 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
32 11 12 31 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
33 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
34 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) )
35 simp2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) )
36 1 2 3 4atlem11a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
37 4 34 35 36 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
38 33 37 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
39 32 38 breqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
40 1 2 3 4atlem10 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
41 10 39 40 sylc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
42 41 38 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )