This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem 2ex2rexrot

Description: Rotate two existential quantifiers and two restricted existential quantifiers. (Contributed by AV, 9-Nov-2023)

Ref Expression
Assertion 2ex2rexrot ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rexcom4 ⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 )
2 1 rexbii ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 )
3 rexcom4 ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 )
4 rexcom4 ⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
5 4 rexbii ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
6 rexcom4 ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
7 5 6 bitri ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
8 7 exbii ⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
9 2 3 8 3bitrri ⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 )