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Theorem tbw-bijust

Description: Justification for tbw-negdf . (Contributed by Anthony Hart, 15-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	tbw-bijust	$⊢ (φ \leftrightarrow ψ) \leftrightarrow (((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfbi1	$⊢ (φ \leftrightarrow ψ) \leftrightarrow \neg ((φ \to ψ) \to \neg (ψ \to φ))$
2		pm2.21	$⊢ \neg (ψ \to φ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)$
3	2	imim2i	$⊢ ((φ \to ψ) \to \neg (ψ \to φ)) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥))$
4		id	$⊢ \neg (ψ \to φ) \to \neg (ψ \to φ)$
5		falim	$⊢ ⊥ \to \neg (ψ \to φ)$
6	4 5	ja	$⊢ ((ψ \to φ) \to ⊥) \to \neg (ψ \to φ)$
7	6	imim2i	$⊢ ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ((φ \to ψ) \to \neg (ψ \to φ))$
8	3 7	impbii	$⊢ ((φ \to ψ) \to \neg (ψ \to φ)) \leftrightarrow ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥))$
9	8	notbii	$⊢ \neg ((φ \to ψ) \to \neg (ψ \to φ)) \leftrightarrow \neg ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥))$
10		pm2.21	$⊢ \neg ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to (((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥)$
11		ax-1	$⊢ \neg ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ((((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥) \to \neg ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)))$
12		falim	$⊢ ⊥ \to ((((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥) \to \neg ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)))$
13	11 12	ja	$⊢ (((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥) \to ((((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥) \to \neg ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)))$
14	13	pm2.43i	$⊢ (((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥) \to \neg ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥))$
15	10 14	impbii	$⊢ \neg ((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \leftrightarrow (((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥)$
16	1 9 15	3bitri	$⊢ (φ \leftrightarrow ψ) \leftrightarrow (((φ \to ψ) \to ((ψ \to φ) \to ⊥)) \to ⊥)$