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Theorem xpundir

Description: Distributive law for Cartesian product over union. Similar to Theorem 103 of Suppes p. 52. (Contributed by NM, 30-Sep-2002)

Ref Expression
Assertion xpundir 
|- ( ( A u. B ) X. C ) = ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-xp 
 |-  ( ( A u. B ) X. C ) = { <. x , y >. | ( x e. ( A u. B ) /\ y e. C ) }
2 df-xp 
 |-  ( A X. C ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. C ) }
3 df-xp 
 |-  ( B X. C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) }
4 2 3 uneq12i 
 |-  ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. C ) } u. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } )
5 elun 
 |-  ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6 5 anbi1i 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ y e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ y e. C ) )
7 andir 
 |-  ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ y e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. C ) \/ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
8 6 7 bitri 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ y e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. C ) \/ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
9 8 opabbii 
 |-  { <. x , y >. | ( x e. ( A u. B ) /\ y e. C ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. C ) \/ ( x e. B /\ y e. C ) ) }
10 unopab 
 |-  ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. C ) } u. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } ) = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. C ) \/ ( x e. B /\ y e. C ) ) }
11 9 10 eqtr4i 
 |-  { <. x , y >. | ( x e. ( A u. B ) /\ y e. C ) } = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. C ) } u. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } )
12 4 11 eqtr4i 
 |-  ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( A u. B ) /\ y e. C ) }
13 1 12 eqtr4i 
 |-  ( ( A u. B ) X. C ) = ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) )