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Theorem unissb

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of Enderton p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003) Avoid ax-11 . (Revised by BTernaryTau, 28-Dec-2024)

Ref Expression
Assertion unissb 
|- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eluni 
 |-  ( y e. U. A <-> E. x ( y e. x /\ x e. A ) )
2 1 imbi1i 
 |-  ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
3 19.23v 
 |-  ( A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
4 2 3 bitr4i 
 |-  ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
5 4 albii 
 |-  ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
6 elequ1 
 |-  ( y = z -> ( y e. x <-> z e. x ) )
7 6 anbi1d 
 |-  ( y = z -> ( ( y e. x /\ x e. A ) <-> ( z e. x /\ x e. A ) ) )
8 eleq1w 
 |-  ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) )
9 7 8 imbi12d 
 |-  ( y = z -> ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( ( z e. x /\ x e. A ) -> z e. B ) ) )
10 elequ2 
 |-  ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
11 eleq1w 
 |-  ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
12 10 11 anbi12d 
 |-  ( x = z -> ( ( y e. x /\ x e. A ) <-> ( y e. z /\ z e. A ) ) )
13 12 imbi1d 
 |-  ( x = z -> ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( ( y e. z /\ z e. A ) -> y e. B ) ) )
14 9 13 alcomw 
 |-  ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
15 19.21v 
 |-  ( A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
16 impexp 
 |-  ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) )
17 bi2.04 
 |-  ( ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
18 16 17 bitri 
 |-  ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
19 18 albii 
 |-  ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
20 df-ss 
 |-  ( x C_ B <-> A. y ( y e. x -> y e. B ) )
21 20 imbi2i 
 |-  ( ( x e. A -> x C_ B ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
22 15 19 21 3bitr4i 
 |-  ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> x C_ B ) )
23 22 albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
24 14 23 bitri 
 |-  ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
25 5 24 bitri 
 |-  ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
26 df-ss 
 |-  ( U. A C_ B <-> A. y ( y e. U. A -> y e. B ) )
27 df-ral 
 |-  ( A. x e. A x C_ B <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
28 25 26 27 3bitr4i 
 |-  ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )