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Theorem tleile

Description: In a Toset, any two elements are comparable. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018)

Ref Expression
Hypotheses tleile.b 
|- B = ( Base ` K )
tleile.l 
|- .<_ = ( le ` K )
Assertion tleile 
|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y \/ Y .<_ X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tleile.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 tleile.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 simp2 
 |-  ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
4 simp3 
 |-  ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
5 1 2 istos 
 |-  ( K e. Toset <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
6 5 simprbi 
 |-  ( K e. Toset -> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) )
7 6 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) )
8 breq1 
 |-  ( x = X -> ( x .<_ y <-> X .<_ y ) )
9 breq2 
 |-  ( x = X -> ( y .<_ x <-> y .<_ X ) )
10 8 9 orbi12d 
 |-  ( x = X -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( X .<_ y \/ y .<_ X ) ) )
11 breq2 
 |-  ( y = Y -> ( X .<_ y <-> X .<_ Y ) )
12 breq1 
 |-  ( y = Y -> ( y .<_ X <-> Y .<_ X ) )
13 11 12 orbi12d 
 |-  ( y = Y -> ( ( X .<_ y \/ y .<_ X ) <-> ( X .<_ Y \/ Y .<_ X ) ) )
14 10 13 rspc2va 
 |-  ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) -> ( X .<_ Y \/ Y .<_ X ) )
15 3 4 7 14 syl21anc 
 |-  ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y \/ Y .<_ X ) )