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Theorem tendoplcl2

Description: Value of result of endomorphism sum operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendopl.h 
|- H = ( LHyp ` K )
tendopl.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendopl.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendopl.p 
|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
Assertion tendoplcl2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ F e. T ) -> ( ( U P V ) ` F ) e. T )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendopl.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 tendopl.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 tendopl.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4 tendopl.p 
 |-  P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
5 4 2 tendopl2 
 |-  ( ( U e. E /\ V e. E /\ F e. T ) -> ( ( U P V ) ` F ) = ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) )
6 5 3expa 
 |-  ( ( ( U e. E /\ V e. E ) /\ F e. T ) -> ( ( U P V ) ` F ) = ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) )
7 6 3adant1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ F e. T ) -> ( ( U P V ) ` F ) = ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) )
8 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ F e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 1 2 3 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ F e. T ) -> ( U ` F ) e. T )
10 9 3adant2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ F e. T ) -> ( U ` F ) e. T )
11 1 2 3 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ V e. E /\ F e. T ) -> ( V ` F ) e. T )
12 11 3adant2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ F e. T ) -> ( V ` F ) e. T )
13 1 2 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` F ) e. T /\ ( V ` F ) e. T ) -> ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) e. T )
14 8 10 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ F e. T ) -> ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) e. T )
15 7 14 eqeltrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ F e. T ) -> ( ( U P V ) ` F ) e. T )