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Theorem tendoplco2

Description: Value of result of endomorphism sum operation on a translation composition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendopl.h 
|- H = ( LHyp ` K )
tendopl.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendopl.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendopl.p 
|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
Assertion tendoplco2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U P V ) ` ( F o. G ) ) = ( ( ( U P V ) ` F ) o. ( ( U P V ) ` G ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendopl.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 tendopl.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 tendopl.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4 tendopl.p 
 |-  P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
5 1 2 3 tendoco2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U ` ( F o. G ) ) o. ( V ` ( F o. G ) ) ) = ( ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) o. ( ( U ` G ) o. ( V ` G ) ) ) )
6 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> F e. T )
8 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> G e. T )
9 1 2 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T )
10 6 7 8 9 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( F o. G ) e. T )
11 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F o. G ) e. T ) -> U e. E )
12 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F o. G ) e. T ) -> V e. E )
13 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F o. G ) e. T ) -> ( F o. G ) e. T )
14 4 2 tendopl2 
 |-  ( ( U e. E /\ V e. E /\ ( F o. G ) e. T ) -> ( ( U P V ) ` ( F o. G ) ) = ( ( U ` ( F o. G ) ) o. ( V ` ( F o. G ) ) ) )
15 11 12 13 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F o. G ) e. T ) -> ( ( U P V ) ` ( F o. G ) ) = ( ( U ` ( F o. G ) ) o. ( V ` ( F o. G ) ) ) )
16 10 15 syld3an3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U P V ) ` ( F o. G ) ) = ( ( U ` ( F o. G ) ) o. ( V ` ( F o. G ) ) ) )
17 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> U e. E )
18 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> V e. E )
19 4 2 tendopl2 
 |-  ( ( U e. E /\ V e. E /\ F e. T ) -> ( ( U P V ) ` F ) = ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) )
20 17 18 7 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U P V ) ` F ) = ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) )
21 4 2 tendopl2 
 |-  ( ( U e. E /\ V e. E /\ G e. T ) -> ( ( U P V ) ` G ) = ( ( U ` G ) o. ( V ` G ) ) )
22 17 18 8 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U P V ) ` G ) = ( ( U ` G ) o. ( V ` G ) ) )
23 20 22 coeq12d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( ( U P V ) ` F ) o. ( ( U P V ) ` G ) ) = ( ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) o. ( ( U ` G ) o. ( V ` G ) ) ) )
24 5 16 23 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U P V ) ` ( F o. G ) ) = ( ( ( U P V ) ` F ) o. ( ( U P V ) ` G ) ) )