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Theorem supeq2

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Assertion supeq2 
|- ( B = C -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , C , R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rabeq 
 |-  ( B = C -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
2 raleq 
 |-  ( B = C -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) )
3 2 anbi2d 
 |-  ( B = C -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) ) )
4 3 rabbidv 
 |-  ( B = C -> { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
5 1 4 eqtrd 
 |-  ( B = C -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
6 5 unieqd 
 |-  ( B = C -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
7 df-sup 
 |-  sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
8 df-sup 
 |-  sup ( A , C , R ) = U. { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
9 6 7 8 3eqtr4g 
 |-  ( B = C -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , C , R ) )