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Theorem stdbdmetval

Description: Value of the standard bounded metric. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015)

Ref Expression
Hypothesis stdbdmet.1 
|- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
Assertion stdbdmetval 
|- ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = if ( ( A C B ) <_ R , ( A C B ) , R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 stdbdmet.1 
 |-  D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
2 ovex 
 |-  ( A C B ) e. _V
3 ifexg 
 |-  ( ( ( A C B ) e. _V /\ R e. V ) -> if ( ( A C B ) <_ R , ( A C B ) , R ) e. _V )
4 2 3 mpan 
 |-  ( R e. V -> if ( ( A C B ) <_ R , ( A C B ) , R ) e. _V )
5 oveq12 
 |-  ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x C y ) = ( A C B ) )
6 5 breq1d 
 |-  ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( x C y ) <_ R <-> ( A C B ) <_ R ) )
7 6 5 ifbieq1d 
 |-  ( ( x = A /\ y = B ) -> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) = if ( ( A C B ) <_ R , ( A C B ) , R ) )
8 7 1 ovmpoga 
 |-  ( ( A e. X /\ B e. X /\ if ( ( A C B ) <_ R , ( A C B ) , R ) e. _V ) -> ( A D B ) = if ( ( A C B ) <_ R , ( A C B ) , R ) )
9 4 8 syl3an3 
 |-  ( ( A e. X /\ B e. X /\ R e. V ) -> ( A D B ) = if ( ( A C B ) <_ R , ( A C B ) , R ) )
10 9 3comr 
 |-  ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = if ( ( A C B ) <_ R , ( A C B ) , R ) )