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Metamath Proof Explorer

Theorem ssralv2

Description: Quantification restricted to a subclass for two quantifiers. ssralv for two quantifiers. The proof of ssralv2 was automatically generated by minimizing the automatically translated proof of ssralv2VD . The automatic translation is by the tools program translate__without__overwriting.cmd. (Contributed by Alan Sare, 18-Feb-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ssralv2 
|- ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x e. A A. y e. C ph ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfv 
 |-  F/ x ( A C_ B /\ C C_ D )
2 nfra1 
 |-  F/ x A. x e. B A. y e. D ph
3 ssralv 
 |-  ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x e. A A. y e. D ph ) )
4 3 adantr 
 |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x e. A A. y e. D ph ) )
5 df-ral 
 |-  ( A. x e. A A. y e. D ph <-> A. x ( x e. A -> A. y e. D ph ) )
6 4 5 imbitrdi 
 |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x ( x e. A -> A. y e. D ph ) ) )
7 sp 
 |-  ( A. x ( x e. A -> A. y e. D ph ) -> ( x e. A -> A. y e. D ph ) )
8 6 7 syl6 
 |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> ( x e. A -> A. y e. D ph ) ) )
9 ssralv 
 |-  ( C C_ D -> ( A. y e. D ph -> A. y e. C ph ) )
10 9 adantl 
 |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. y e. D ph -> A. y e. C ph ) )
11 8 10 syl6d 
 |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> ( x e. A -> A. y e. C ph ) ) )
12 1 2 11 ralrimd 
 |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x e. A A. y e. C ph ) )