slmdlema

Description: Lemma for properties of a semimodule. (Contributed by NM, 8-Dec-2013) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	isslmd.v	\|- V = ( Base ` W )
	isslmd.a	\|- .+ = ( +g ` W )
	isslmd.s	\|- .x. = ( .s ` W )
	isslmd.0	\|- .0. = ( 0g ` W )
	isslmd.f	\|- F = ( Scalar ` W )
	isslmd.k	\|- K = ( Base ` F )
	isslmd.p	\|- .+^ = ( +g ` F )
	isslmd.t	\|- .X. = ( .r ` F )
	isslmd.u	\|- .1. = ( 1r ` F )
	isslmd.o	\|- O = ( 0g ` F )
Assertion	slmdlema	\|- ( ( W e. SLMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isslmd.v	\|- V = ( Base ` W )
2		isslmd.a	\|- .+ = ( +g ` W )
3		isslmd.s	\|- .x. = ( .s ` W )
4		isslmd.0	\|- .0. = ( 0g ` W )
5		isslmd.f	\|- F = ( Scalar ` W )
6		isslmd.k	\|- K = ( Base ` F )
7		isslmd.p	\|- .+^ = ( +g ` F )
8		isslmd.t	\|- .X. = ( .r ` F )
9		isslmd.u	\|- .1. = ( 1r ` F )
10		isslmd.o	\|- O = ( 0g ` F )
11	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	isslmd	\|- ( W e. SLMod <-> ( W e. CMnd /\ F e. SRing /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
12	11	simp3bi	\|- ( W e. SLMod -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) )
13		oveq1	\|- ( q = Q -> ( q .+^ r ) = ( Q .+^ r ) )
14	13	oveq1d	\|- ( q = Q -> ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ r ) .x. w ) )
15		oveq1	\|- ( q = Q -> ( q .x. w ) = ( Q .x. w ) )
16	15	oveq1d	\|- ( q = Q -> ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
17	14 16	eqeq12d	\|- ( q = Q -> ( ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
18	17	3anbi3d	\|- ( q = Q -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) ) )
19		oveq1	\|- ( q = Q -> ( q .X. r ) = ( Q .X. r ) )
20	19	oveq1d	\|- ( q = Q -> ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. r ) .x. w ) )
21		oveq1	\|- ( q = Q -> ( q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) )
22	20 21	eqeq12d	\|- ( q = Q -> ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) ) )
23	22	3anbi1d	\|- ( q = Q -> ( ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) <-> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) )
24	18 23	anbi12d	\|- ( q = Q -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
25	24	2ralbidv	\|- ( q = Q -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
26		oveq1	\|- ( r = R -> ( r .x. w ) = ( R .x. w ) )
27	26	eleq1d	\|- ( r = R -> ( ( r .x. w ) e. V <-> ( R .x. w ) e. V ) )
28		oveq1	\|- ( r = R -> ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ x ) ) )
29		oveq1	\|- ( r = R -> ( r .x. x ) = ( R .x. x ) )
30	26 29	oveq12d	\|- ( r = R -> ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) )
31	28 30	eqeq12d	\|- ( r = R -> ( ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) ) )
32		oveq2	\|- ( r = R -> ( Q .+^ r ) = ( Q .+^ R ) )
33	32	oveq1d	\|- ( r = R -> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. w ) )
34	26	oveq2d	\|- ( r = R -> ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) )
35	33 34	eqeq12d	\|- ( r = R -> ( ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) )
36	27 31 35	3anbi123d	\|- ( r = R -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
37		oveq2	\|- ( r = R -> ( Q .X. r ) = ( Q .X. R ) )
38	37	oveq1d	\|- ( r = R -> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. w ) )
39	26	oveq2d	\|- ( r = R -> ( Q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) )
40	38 39	eqeq12d	\|- ( r = R -> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) ) )
41	40	3anbi1d	\|- ( r = R -> ( ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) )
42	36 41	anbi12d	\|- ( r = R -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
43	42	2ralbidv	\|- ( r = R -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
44	25 43	rspc2v	\|- ( ( Q e. K /\ R e. K ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
45	12 44	mpan9	\|- ( ( W e. SLMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) )
46		oveq2	\|- ( x = X -> ( w .+ x ) = ( w .+ X ) )
47	46	oveq2d	\|- ( x = X -> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ X ) ) )
48		oveq2	\|- ( x = X -> ( R .x. x ) = ( R .x. X ) )
49	48	oveq2d	\|- ( x = X -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) )
50	47 49	eqeq12d	\|- ( x = X -> ( ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
51	50	3anbi2d	\|- ( x = X -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
52	51	anbi1d	\|- ( x = X -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
53		oveq2	\|- ( w = Y -> ( R .x. w ) = ( R .x. Y ) )
54	53	eleq1d	\|- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) e. V <-> ( R .x. Y ) e. V ) )
55		oveq1	\|- ( w = Y -> ( w .+ X ) = ( Y .+ X ) )
56	55	oveq2d	\|- ( w = Y -> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( R .x. ( Y .+ X ) ) )
57	53	oveq1d	\|- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) )
58	56 57	eqeq12d	\|- ( w = Y -> ( ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) <-> ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
59		oveq2	\|- ( w = Y -> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) )
60		oveq2	\|- ( w = Y -> ( Q .x. w ) = ( Q .x. Y ) )
61	60 53	oveq12d	\|- ( w = Y -> ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) )
62	59 61	eqeq12d	\|- ( w = Y -> ( ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
63	54 58 62	3anbi123d	\|- ( w = Y -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) )
64		oveq2	\|- ( w = Y -> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. Y ) )
65	53	oveq2d	\|- ( w = Y -> ( Q .x. ( R .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) )
66	64 65	eqeq12d	\|- ( w = Y -> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) ) )
67		oveq2	\|- ( w = Y -> ( .1. .x. w ) = ( .1. .x. Y ) )
68		id	\|- ( w = Y -> w = Y )
69	67 68	eqeq12d	\|- ( w = Y -> ( ( .1. .x. w ) = w <-> ( .1. .x. Y ) = Y ) )
70		oveq2	\|- ( w = Y -> ( O .x. w ) = ( O .x. Y ) )
71	70	eqeq1d	\|- ( w = Y -> ( ( O .x. w ) = .0. <-> ( O .x. Y ) = .0. ) )
72	66 69 71	3anbi123d	\|- ( w = Y -> ( ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) )
73	63 72	anbi12d	\|- ( w = Y -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) ) )
74	52 73	rspc2v	\|- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) ) )
75	45 74	syl5com	\|- ( ( W e. SLMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) ) )
76	75	3impia	\|- ( ( W e. SLMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) )

Metamath Proof Explorer

Theorem slmdlema

Proof