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Theorem shscom

Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion shscom 
|- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( A +H B ) = ( B +H A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 shel 
 |-  ( ( A e. SH /\ y e. A ) -> y e. ~H )
2 shel 
 |-  ( ( B e. SH /\ z e. B ) -> z e. ~H )
3 1 2 anim12i 
 |-  ( ( ( A e. SH /\ y e. A ) /\ ( B e. SH /\ z e. B ) ) -> ( y e. ~H /\ z e. ~H ) )
4 3 an4s 
 |-  ( ( ( A e. SH /\ B e. SH ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ( y e. ~H /\ z e. ~H ) )
5 ax-hvcom 
 |-  ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( y +h z ) = ( z +h y ) )
6 4 5 syl 
 |-  ( ( ( A e. SH /\ B e. SH ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ( y +h z ) = ( z +h y ) )
7 6 eqeq2d 
 |-  ( ( ( A e. SH /\ B e. SH ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ( x = ( y +h z ) <-> x = ( z +h y ) ) )
8 7 2rexbidva 
 |-  ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) <-> E. y e. A E. z e. B x = ( z +h y ) ) )
9 rexcom 
 |-  ( E. y e. A E. z e. B x = ( z +h y ) <-> E. z e. B E. y e. A x = ( z +h y ) )
10 8 9 bitrdi 
 |-  ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) <-> E. z e. B E. y e. A x = ( z +h y ) ) )
11 shsel 
 |-  ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( x e. ( A +H B ) <-> E. y e. A E. z e. B x = ( y +h z ) ) )
12 shsel 
 |-  ( ( B e. SH /\ A e. SH ) -> ( x e. ( B +H A ) <-> E. z e. B E. y e. A x = ( z +h y ) ) )
13 12 ancoms 
 |-  ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( x e. ( B +H A ) <-> E. z e. B E. y e. A x = ( z +h y ) ) )
14 10 11 13 3bitr4d 
 |-  ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( x e. ( A +H B ) <-> x e. ( B +H A ) ) )
15 14 eqrdv 
 |-  ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( A +H B ) = ( B +H A ) )