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Theorem sbnf2

Description: Two ways of expressing " x is (effectively) not free in ph ". (Contributed by Gérard Lang, 14-Nov-2013) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2016) (Proof shortened by Wolf Lammen, 22-Sep-2018) Avoid ax-13 . (Revised by Wolf Lammen, 30-Jan-2023)

Ref Expression
Assertion sbnf2 
|- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfv 
 |-  F/ y ph
2 1 sb8ef 
 |-  ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph )
3 sb8v 
 |-  ( A. x ph <-> A. z [ z / x ] ph )
4 2 3 imbi12i 
 |-  ( ( E. x ph -> A. x ph ) <-> ( E. y [ y / x ] ph -> A. z [ z / x ] ph ) )
5 df-nf 
 |-  ( F/ x ph <-> ( E. x ph -> A. x ph ) )
6 pm11.53v 
 |-  ( A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) <-> ( E. y [ y / x ] ph -> A. z [ z / x ] ph ) )
7 4 5 6 3bitr4i 
 |-  ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
8 nfv 
 |-  F/ z ph
9 8 sb8ef 
 |-  ( E. x ph <-> E. z [ z / x ] ph )
10 sb8v 
 |-  ( A. x ph <-> A. y [ y / x ] ph )
11 9 10 imbi12i 
 |-  ( ( E. x ph -> A. x ph ) <-> ( E. z [ z / x ] ph -> A. y [ y / x ] ph ) )
12 pm11.53v 
 |-  ( A. z A. y ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) <-> ( E. z [ z / x ] ph -> A. y [ y / x ] ph ) )
13 11 5 12 3bitr4i 
 |-  ( F/ x ph <-> A. z A. y ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
14 alcom 
 |-  ( A. z A. y ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
15 13 14 bitri 
 |-  ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
16 7 15 anbi12i 
 |-  ( ( F/ x ph /\ F/ x ph ) <-> ( A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) /\ A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) ) )
17 pm4.24 
 |-  ( F/ x ph <-> ( F/ x ph /\ F/ x ph ) )
18 2albiim 
 |-  ( A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) <-> ( A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) /\ A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) ) )
19 16 17 18 3bitr4i 
 |-  ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) )