This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem rspc4v

Description: 4-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2025)

Ref Expression
Hypotheses rspc4v.1 
|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc4v.2 
|- ( y = B -> ( ch <-> th ) )
rspc4v.3 
|- ( z = C -> ( th <-> ta ) )
rspc4v.4 
|- ( w = D -> ( ta <-> ps ) )
Assertion rspc4v 
|- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. T /\ D e. U ) ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rspc4v.1 
 |-  ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
2 rspc4v.2 
 |-  ( y = B -> ( ch <-> th ) )
3 rspc4v.3 
 |-  ( z = C -> ( th <-> ta ) )
4 rspc4v.4 
 |-  ( w = D -> ( ta <-> ps ) )
5 df-3an 
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. T ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ C e. T ) )
6 1 ralbidv 
 |-  ( x = A -> ( A. w e. U ph <-> A. w e. U ch ) )
7 2 ralbidv 
 |-  ( y = B -> ( A. w e. U ch <-> A. w e. U th ) )
8 3 ralbidv 
 |-  ( z = C -> ( A. w e. U th <-> A. w e. U ta ) )
9 6 7 8 rspc3v 
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. T ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> A. w e. U ta ) )
10 4 rspcv 
 |-  ( D e. U -> ( A. w e. U ta -> ps ) )
11 9 10 sylan9 
 |-  ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. T ) /\ D e. U ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> ps ) )
12 5 11 sylanbr 
 |-  ( ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ C e. T ) /\ D e. U ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> ps ) )
13 12 anasss 
 |-  ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. T /\ D e. U ) ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> ps ) )