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Theorem ralss

Description: Restricted universal quantification on a subset in terms of superset. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015) Avoid axioms. (Revised by SN, 14-Oct-2025)

Ref Expression
Assertion ralss 
|- ( A C_ B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ( x e. A -> ph ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-ss 
 |-  ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
2 id 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
3 2 pm4.71rd 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( x e. A <-> ( x e. B /\ x e. A ) ) )
4 3 imbi1d 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( ( x e. B /\ x e. A ) -> ph ) ) )
5 impexp 
 |-  ( ( ( x e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) )
6 4 5 bitrdi 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
7 6 alimi 
 |-  ( A. x ( x e. A -> x e. B ) -> A. x ( ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
8 1 7 sylbi 
 |-  ( A C_ B -> A. x ( ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
9 albi 
 |-  ( A. x ( ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) -> ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
10 8 9 syl 
 |-  ( A C_ B -> ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
11 df-ral 
 |-  ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
12 df-ral 
 |-  ( A. x e. B ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) )
13 10 11 12 3bitr4g 
 |-  ( A C_ B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ( x e. A -> ph ) ) )