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Theorem ralrab2

Description: Universal quantification over a restricted class abstraction. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015)

Ref Expression
Hypothesis ralab2.1 
|- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
Assertion ralrab2 
|- ( A. x e. { y e. A | ph } ps <-> A. y e. A ( ph -> ch ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ralab2.1 
 |-  ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
2 df-rab 
 |-  { y e. A | ph } = { y | ( y e. A /\ ph ) }
3 2 raleqi 
 |-  ( A. x e. { y e. A | ph } ps <-> A. x e. { y | ( y e. A /\ ph ) } ps )
4 1 ralab2 
 |-  ( A. x e. { y | ( y e. A /\ ph ) } ps <-> A. y ( ( y e. A /\ ph ) -> ch ) )
5 impexp 
 |-  ( ( ( y e. A /\ ph ) -> ch ) <-> ( y e. A -> ( ph -> ch ) ) )
6 5 albii 
 |-  ( A. y ( ( y e. A /\ ph ) -> ch ) <-> A. y ( y e. A -> ( ph -> ch ) ) )
7 df-ral 
 |-  ( A. y e. A ( ph -> ch ) <-> A. y ( y e. A -> ( ph -> ch ) ) )
8 6 7 bitr4i 
 |-  ( A. y ( ( y e. A /\ ph ) -> ch ) <-> A. y e. A ( ph -> ch ) )
9 3 4 8 3bitri 
 |-  ( A. x e. { y e. A | ph } ps <-> A. y e. A ( ph -> ch ) )