This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem raliunxp

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp , B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014)

Ref Expression
Hypothesis ralxp.1 
|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
Assertion raliunxp 
|- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ralxp.1 
 |-  ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
2 eliunxp 
 |-  ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
3 2 imbi1i 
 |-  ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
4 19.23vv 
 |-  ( A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
5 3 4 bitr4i 
 |-  ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
6 5 albii 
 |-  ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
7 alrot3 
 |-  ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
8 impexp 
 |-  ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
9 8 albii 
 |-  ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
10 opex 
 |-  <. y , z >. e. _V
11 1 imbi2d 
 |-  ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) ) )
12 10 11 ceqsalv 
 |-  ( A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
13 9 12 bitri 
 |-  ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
14 13 2albii 
 |-  ( A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
15 7 14 bitri 
 |-  ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
16 6 15 bitri 
 |-  ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
17 df-ral 
 |-  ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) )
18 r2al 
 |-  ( A. y e. A A. z e. B ps <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
19 16 17 18 3bitr4i 
 |-  ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )