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Theorem r19.12

Description: Restricted quantifier version of 19.12 . (Contributed by NM, 15-Oct-2003) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011) Avoid ax-13 , ax-ext . (Revised by Wolf Lammen, 17-Jun-2023) (Proof shortened by Wolf Lammen, 4-Nov-2024)

Ref Expression
Assertion r19.12 
|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-rex 
 |-  ( E. x e. A A. y e. B ph <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. B ph ) )
2 nfv 
 |-  F/ y x e. A
3 nfra1 
 |-  F/ y A. y e. B ph
4 2 3 nfan 
 |-  F/ y ( x e. A /\ A. y e. B ph )
5 4 nfex 
 |-  F/ y E. x ( x e. A /\ A. y e. B ph )
6 1 5 nfxfr 
 |-  F/ y E. x e. A A. y e. B ph
7 rsp 
 |-  ( A. y e. B ph -> ( y e. B -> ph ) )
8 7 com12 
 |-  ( y e. B -> ( A. y e. B ph -> ph ) )
9 8 reximdv 
 |-  ( y e. B -> ( E. x e. A A. y e. B ph -> E. x e. A ph ) )
10 9 com12 
 |-  ( E. x e. A A. y e. B ph -> ( y e. B -> E. x e. A ph ) )
11 6 10 ralrimi 
 |-  ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )