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Theorem psdcl

Description: The derivative of a power series is a power series. (Contributed by SN, 11-Apr-2025)

Ref Expression
Hypotheses psdcl.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psdcl.b 
|- B = ( Base ` S )
psdcl.r 
|- ( ph -> R e. Mgm )
psdcl.x 
|- ( ph -> X e. I )
psdcl.f 
|- ( ph -> F e. B )
Assertion psdcl 
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psdcl.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psdcl.b 
 |-  B = ( Base ` S )
3 psdcl.r 
 |-  ( ph -> R e. Mgm )
4 psdcl.x 
 |-  ( ph -> X e. I )
5 psdcl.f 
 |-  ( ph -> F e. B )
6 fvexd 
 |-  ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
7 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
8 7 rabex 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V
9 8 a1i 
 |-  ( ph -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
10 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. Mgm )
11 eqid 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
12 11 psrbagf 
 |-  ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> k : I --> NN0 )
13 12 adantl 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> k : I --> NN0 )
14 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I )
15 13 14 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k ` X ) e. NN0 )
16 nn0p1nn 
 |-  ( ( k ` X ) e. NN0 -> ( ( k ` X ) + 1 ) e. NN )
17 15 16 syl 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( k ` X ) + 1 ) e. NN )
18 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
19 1 18 11 2 5 psrelbas 
 |-  ( ph -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
20 19 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
21 simpr 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
22 reldmpsr 
 |-  Rel dom mPwSer
23 1 2 22 strov2rcl 
 |-  ( F e. B -> I e. _V )
24 5 23 syl 
 |-  ( ph -> I e. _V )
25 1nn0 
 |-  1 e. NN0
26 11 snifpsrbag 
 |-  ( ( I e. _V /\ 1 e. NN0 ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
27 24 25 26 sylancl 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
28 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
29 11 psrbagaddcl 
 |-  ( ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
30 21 28 29 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
31 20 30 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
32 eqid 
 |-  ( .g ` R ) = ( .g ` R )
33 18 32 mulgnncl 
 |-  ( ( R e. Mgm /\ ( ( k ` X ) + 1 ) e. NN /\ ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
34 10 17 31 33 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
35 34 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
36 6 9 35 elmapdd 
 |-  ( ph -> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) )
37 1 2 11 4 5 psdval 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) = ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) )
38 1 18 11 2 24 psrbas 
 |-  ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) )
39 36 37 38 3eltr4d 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B )