prdssca

Description: Scalar ring of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019) (Revised by Zhi Wang, 18-Aug-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	prdsbas.p	\|- P = ( S Xs_ R )
	prdsbas.s	\|- ( ph -> S e. V )
	prdsbas.r	\|- ( ph -> R e. W )
Assertion	prdssca	\|- ( ph -> S = ( Scalar ` P ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	\|- P = ( S Xs_ R )
2		prdsbas.s	\|- ( ph -> S e. V )
3		prdsbas.r	\|- ( ph -> R e. W )
4		eqid	\|- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5		eqidd	\|- ( ph -> dom R = dom R )
6		eqidd	\|- ( ph -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
7		eqidd	\|- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
8		eqidd	\|- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
9		eqidd	\|- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
10		eqidd	\|- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
11		eqidd	\|- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
12		eqidd	\|- ( ph -> { <. f , g >. \| ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. \| ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
13		eqidd	\|- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> sup ( ( ran ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> sup ( ( ran ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
14		eqidd	\|- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
15		eqidd	\|- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
16	1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3	prdsval	\|- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. ( TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. \| ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> sup ( ( ran ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. ( comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
17		eqid	\|- ( Scalar ` P ) = ( Scalar ` P )
18		scaid	\|- Scalar = Slot ( Scalar ` ndx )
19		snsstp1	\|- { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. } C_ { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. }
20		ssun2	\|- { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
21	19 20	sstri	\|- { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
22		ssun1	\|- ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. ( TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. \| ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> sup ( ( ran ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. ( comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
23	21 22	sstri	\|- { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( S gsum ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. ( TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. \| ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> sup ( ( ran ( x e. dom R \|-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. ( comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) \|-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) \|-> ( x e. dom R \|-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
24	16 17 18 2 23	prdsbaslem	\|- ( ph -> ( Scalar ` P ) = S )
25	24	eqcomd	\|- ( ph -> S = ( Scalar ` P ) )

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Theorem prdssca

Proof