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Theorem poslubmo

Description: Least upper bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015) (Revised by NM, 16-Jun-2017)

Ref Expression
Hypotheses poslubmo.l 
|- .<_ = ( le ` K )
poslubmo.b 
|- B = ( Base ` K )
Assertion poslubmo 
|- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 poslubmo.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 poslubmo.b 
 |-  B = ( Base ` K )
3 simprrl 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> A. y e. S y .<_ w )
4 breq2 
 |-  ( z = w -> ( y .<_ z <-> y .<_ w ) )
5 4 ralbidv 
 |-  ( z = w -> ( A. y e. S y .<_ z <-> A. y e. S y .<_ w ) )
6 breq2 
 |-  ( z = w -> ( x .<_ z <-> x .<_ w ) )
7 5 6 imbi12d 
 |-  ( z = w -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ w -> x .<_ w ) ) )
8 simprlr 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) )
9 simplrr 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> w e. B )
10 7 8 9 rspcdva 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> ( A. y e. S y .<_ w -> x .<_ w ) )
11 3 10 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> x .<_ w )
12 simprll 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> A. y e. S y .<_ x )
13 breq2 
 |-  ( z = x -> ( y .<_ z <-> y .<_ x ) )
14 13 ralbidv 
 |-  ( z = x -> ( A. y e. S y .<_ z <-> A. y e. S y .<_ x ) )
15 breq2 
 |-  ( z = x -> ( w .<_ z <-> w .<_ x ) )
16 14 15 imbi12d 
 |-  ( z = x -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ x -> w .<_ x ) ) )
17 simprrr 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) )
18 simplrl 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> x e. B )
19 16 17 18 rspcdva 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> ( A. y e. S y .<_ x -> w .<_ x ) )
20 12 19 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> w .<_ x )
21 2 1 posasymb 
 |-  ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ w e. B ) -> ( ( x .<_ w /\ w .<_ x ) <-> x = w ) )
22 21 3expb 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x .<_ w /\ w .<_ x ) <-> x = w ) )
23 22 ad4ant13 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> ( ( x .<_ w /\ w .<_ x ) <-> x = w ) )
24 11 20 23 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) ) -> x = w )
25 24 ex 
 |-  ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) -> x = w ) )
26 25 ralrimivva 
 |-  ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> A. x e. B A. w e. B ( ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) -> x = w ) )
27 breq2 
 |-  ( x = w -> ( y .<_ x <-> y .<_ w ) )
28 27 ralbidv 
 |-  ( x = w -> ( A. y e. S y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ w ) )
29 breq1 
 |-  ( x = w -> ( x .<_ z <-> w .<_ z ) )
30 29 imbi2d 
 |-  ( x = w -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) )
31 30 ralbidv 
 |-  ( x = w -> ( A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) )
32 28 31 anbi12d 
 |-  ( x = w -> ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) )
33 32 rmo4 
 |-  ( E* x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> A. x e. B A. w e. B ( ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) /\ ( A. y e. S y .<_ w /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> w .<_ z ) ) ) -> x = w ) )
34 26 33 sylibr 
 |-  ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )