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Theorem rmo4

Description: Restricted "at most one" using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006) (Revised by NM, 16-Jun-2017)

Ref Expression
Hypothesis rmo4.1 
|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
Assertion rmo4 
|- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rmo4.1 
 |-  ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2 df-rmo 
 |-  ( E* x e. A ph <-> E* x ( x e. A /\ ph ) )
3 an4 
 |-  ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
4 ancom 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ x e. A ) )
5 3 4 bianbi 
 |-  ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
6 5 imbi1i 
 |-  ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) -> x = y ) )
7 impexp 
 |-  ( ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
8 impexp 
 |-  ( ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
9 6 7 8 3bitri 
 |-  ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
10 9 albii 
 |-  ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
11 df-ral 
 |-  ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
12 r19.21v 
 |-  ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
13 10 11 12 3bitr2i 
 |-  ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
14 13 albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
15 eleq1w 
 |-  ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
16 15 1 anbi12d 
 |-  ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ ps ) ) )
17 16 mo4 
 |-  ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) )
18 df-ral 
 |-  ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
19 14 17 18 3bitr4i 
 |-  ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) )
20 2 19 bitri 
 |-  ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) )