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Theorem pmtrval

Description: A generated transposition, expressed in a symmetric form. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015)

Ref Expression
Hypothesis pmtrfval.t 
|- T = ( pmTrsp ` D )
Assertion pmtrval 
|- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pmtrfval.t 
 |-  T = ( pmTrsp ` D )
2 1 pmtrfval 
 |-  ( D e. V -> T = ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
3 2 fveq1d 
 |-  ( D e. V -> ( T ` P ) = ( ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) ` P ) )
4 3 3ad2ant1 
 |-  ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) = ( ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) ` P ) )
5 eqid 
 |-  ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
6 eleq2 
 |-  ( p = P -> ( z e. p <-> z e. P ) )
7 difeq1 
 |-  ( p = P -> ( p \ { z } ) = ( P \ { z } ) )
8 7 unieqd 
 |-  ( p = P -> U. ( p \ { z } ) = U. ( P \ { z } ) )
9 6 8 ifbieq1d 
 |-  ( p = P -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) )
10 9 mpteq2dv 
 |-  ( p = P -> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )
11 breq1 
 |-  ( y = P -> ( y ~~ 2o <-> P ~~ 2o ) )
12 elpw2g 
 |-  ( D e. V -> ( P e. ~P D <-> P C_ D ) )
13 12 biimpar 
 |-  ( ( D e. V /\ P C_ D ) -> P e. ~P D )
14 13 3adant3 
 |-  ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> P e. ~P D )
15 simp3 
 |-  ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
16 11 14 15 elrabd 
 |-  ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> P e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } )
17 mptexg 
 |-  ( D e. V -> ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) e. _V )
18 17 3ad2ant1 
 |-  ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) e. _V )
19 5 10 16 18 fvmptd3 
 |-  ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )
20 4 19 eqtrd 
 |-  ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )