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Theorem pl42lem3N

Description: Lemma for pl42N . (Contributed by NM, 8-Apr-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses pl42lem.b 
|- B = ( Base ` K )
pl42lem.l 
|- .<_ = ( le ` K )
pl42lem.j 
|- .\/ = ( join ` K )
pl42lem.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
pl42lem.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
pl42lem.f 
|- F = ( pmap ` K )
pl42lem.p 
|- .+ = ( +P ` K )
Assertion pl42lem3N 
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( F ` V ) ) C_ ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pl42lem.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 pl42lem.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 pl42lem.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 pl42lem.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 pl42lem.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
6 pl42lem.f 
 |-  F = ( pmap ` K )
7 pl42lem.p 
 |-  .+ = ( +P ` K )
8 simpl1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> K e. HL )
9 simpl2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> X e. B )
10 eqid 
 |-  ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
11 1 10 6 pmapssat 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) )
12 8 9 11 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) )
13 simpl3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> Y e. B )
14 1 10 6 pmapssat 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
15 8 13 14 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
16 10 7 paddssat 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
17 8 12 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
18 simpr2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> W e. B )
19 1 10 6 pmapssat 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) )
20 8 18 19 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) )
21 inss1 
 |-  ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) C_ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) )
22 10 7 paddss1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) C_ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) ) )
23 21 22 mpi 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) )
24 8 17 20 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) )
25 simpr3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> V e. B )
26 1 10 6 pmapssat 
 |-  ( ( K e. HL /\ V e. B ) -> ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) )
27 8 25 26 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) )
28 10 7 sspadd2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) )
29 8 27 17 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) )
30 ss2in 
 |-  ( ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) /\ ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( F ` V ) ) C_ ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) )
31 24 29 30 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( F ` V ) ) C_ ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) )