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Theorem peano2uz2

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004)

Ref Expression
Assertion peano2uz2 
|- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 peano2z 
 |-  ( B e. ZZ -> ( B + 1 ) e. ZZ )
2 1 ad2antrl 
 |-  ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. ZZ )
3 zre 
 |-  ( A e. ZZ -> A e. RR )
4 zre 
 |-  ( B e. ZZ -> B e. RR )
5 lep1 
 |-  ( B e. RR -> B <_ ( B + 1 ) )
6 5 adantl 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ ( B + 1 ) )
7 peano2re 
 |-  ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
8 7 ancli 
 |-  ( B e. RR -> ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) )
9 letr 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
10 9 3expb 
 |-  ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
11 8 10 sylan2 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
12 6 11 mpan2d 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
13 3 4 12 syl2an 
 |-  ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
14 13 impr 
 |-  ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> A <_ ( B + 1 ) )
15 2 14 jca 
 |-  ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
16 breq2 
 |-  ( x = B -> ( A <_ x <-> A <_ B ) )
17 16 elrab 
 |-  ( B e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( B e. ZZ /\ A <_ B ) )
18 17 anbi2i 
 |-  ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) )
19 breq2 
 |-  ( x = ( B + 1 ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( B + 1 ) ) )
20 19 elrab 
 |-  ( ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
21 15 18 20 3imtr4i 
 |-  ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )