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Theorem oiiniseg

Description: ran F is an initial segment of A under the well-order R . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015)

Ref Expression
Hypothesis oicl.1 
|- F = OrdIso ( R , A )
Assertion oiiniseg 
|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( N e. A /\ M e. dom F ) ) -> ( ( F ` M ) R N \/ N e. ran F ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oicl.1 
 |-  F = OrdIso ( R , A )
2 eqid 
 |-  recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
3 eqid 
 |-  { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
4 eqid 
 |-  ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
5 2 3 4 ordtypecbv 
 |-  recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
6 eqid 
 |-  { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t }
7 simpl 
 |-  ( ( R We A /\ R Se A ) -> R We A )
8 simpr 
 |-  ( ( R We A /\ R Se A ) -> R Se A )
9 5 3 4 6 1 7 8 ordtypelem7 
 |-  ( ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ N e. A ) /\ M e. dom F ) -> ( ( F ` M ) R N \/ N e. ran F ) )
10 9 anasss 
 |-  ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( N e. A /\ M e. dom F ) ) -> ( ( F ` M ) R N \/ N e. ran F ) )