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Theorem mnd4g

Description: Commutative/associative law for commutative monoids, with an explicit commutativity hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016)

Ref Expression
Hypotheses mndcl.b 
|- B = ( Base ` G )
mndcl.p 
|- .+ = ( +g ` G )
mnd4g.1 
|- ( ph -> G e. Mnd )
mnd4g.2 
|- ( ph -> X e. B )
mnd4g.3 
|- ( ph -> Y e. B )
mnd4g.4 
|- ( ph -> Z e. B )
mnd4g.5 
|- ( ph -> W e. B )
mnd4g.6 
|- ( ph -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
Assertion mnd4g 
|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mndcl.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 mndcl.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 mnd4g.1 
 |-  ( ph -> G e. Mnd )
4 mnd4g.2 
 |-  ( ph -> X e. B )
5 mnd4g.3 
 |-  ( ph -> Y e. B )
6 mnd4g.4 
 |-  ( ph -> Z e. B )
7 mnd4g.5 
 |-  ( ph -> W e. B )
8 mnd4g.6 
 |-  ( ph -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
9 1 2 3 5 6 7 8 mnd12g 
 |-  ( ph -> ( Y .+ ( Z .+ W ) ) = ( Z .+ ( Y .+ W ) ) )
10 9 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( X .+ ( Y .+ ( Z .+ W ) ) ) = ( X .+ ( Z .+ ( Y .+ W ) ) ) )
11 1 2 mndcl 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12 3 6 7 11 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( Z .+ W ) e. B )
13 1 2 mndass 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Z .+ W ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( Z .+ W ) ) ) )
14 3 4 5 12 13 syl13anc 
 |-  ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( Z .+ W ) ) ) )
15 1 2 mndcl 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y .+ W ) e. B )
16 3 5 7 15 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( Y .+ W ) e. B )
17 1 2 mndass 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .+ W ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) = ( X .+ ( Z .+ ( Y .+ W ) ) ) )
18 3 4 6 16 17 syl13anc 
 |-  ( ph -> ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) = ( X .+ ( Z .+ ( Y .+ W ) ) ) )
19 10 14 18 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )